二分查找法

二分查找（binary search） 是一种基于分治策略的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮缩小一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

Question:

给定一个长度为n的数组 nums ，元素按从小到大的顺序排列且不重复。请查找并返回元素 target 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 -1。

Solution:

/* 二分查找（双闭区间） */
function binarySearch(nums: number[], target: number): number {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    let i = 0,
        j = nums.length - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        // 计算中点索引 m
        const m = Math.floor(i + (j - i) / 2);
        if (nums[m] < target) {
            // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        } else if (nums[m] > target) {
            // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        } else {
            // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
        }
    }
    return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
}

Complexity:

• 时间复杂度：O(logn)
• 空间复杂度：O(1)

优点和局限性

二分查找在时间和空间方面都有较好的性能。

• 二分查找的时间效率高。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如，当数据大小 $n = 2^{20}$ 时，线性查找需要 $2^{20} = 1048576$ 轮循环，而二分查找仅需 $\log_2 2^{20} = 20$ 轮循环。
• 二分查找无须额外空间。相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找），二分查找更加节省空间。

然而，二分查找并非适用于所有情况，主要有以下原因。

• 二分查找仅适用于有序数据。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 $O(n \log n)$ ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 $O(n)$ ，也是非常昂贵的。
• 二分查找仅适用于数组。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。
• 小数据量下，线性查找性能更佳。在线性查找中，每轮只需 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，当数据量 $n$ 较小时，线性查找反而比二分查找更快。